题目

已知定义在R上的函数F（X）的反函数为F—1（X）,且涵数F（X+1）的反涵数恰为Y=F—1（X+1）,若F（1）=3999,求F（2007）的值
你解的我看懂了,可是F（A-1）=B+2
F（A-2）=B+3
F（A-3）=B+4
证不出来,你能帮我再证一个么

提问时间：2021-03-16

答案

注意：我认为“bob1116”的解答有误.开头的论断有错：
“设 F（A+1）=B
反涵数 A=F—1（B+1）,
（ 这个不知道你能不能看懂 就是反函数的自变量是原函数的因变量）”
其实,根据反函数的定义,若 F（A+1）=B ,则
反涵数 A=F-1（B）-1.
我的解答(欢迎探讨)：
下面约定：函数f(x)的反函数用f^(x)表示.
法1：设y＝F^(x+1),则x+1=F(y),x=F(y)-1,
所以y＝F^(x+1)的反函数是y＝F(x)-1.
由条件得：F(x+1)=F(x)-1.(1)
因F(1)=3999,所以由(1)得：
F(2)=F(1)-1=3998,
F(3)=F(21=3997,
F(4)=F(3)-1=3996
.
F(2007)=f(2006)-1=1993.
法2：设y＝F(x+1),则x+1＝F^(y),x=F^(y)-1,
所以：y＝F(x+1)的反函数是y＝F^(x)-1.
由条件知,F^(x)-1＝F^(x+1),
即f^(x)=F^(x+1)+1.(2)
设t＝F(2007),为了求t的值,则只需看等式
F^(t)=2007在t为何值时成立.
因为F(1)=3999,所以F^(3999)=1,
因此,由(2)得
F^(3998)=F^(3999)+1=2,
F^(3997)=F^(3998)+1=3,
F^(3996)=F^(3997)+1=4,
.
F^(1993)=F^(1994)+1=2007.
所以F(2007)＝1993.