题目

求经过A（0，-1）和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上的圆的方程．

提问时间：2021-03-16

答案

因为圆心在直线y=-2x上，设圆心坐标为（a，-2a）（1分）
设圆的方程为（x-a）²+（y+2a）²=r²（2分）
圆经过点A（0，-1）和直线x+y=1相切，
所以有

a2+(2a−1)2＝r2 |a−2a−1| 2 ＝r

（8分）
解得r＝

2

，a=1或a=

1

9

（12分）
所以圆的方程为（x-1）²+（y+2）²=2或（x-

1

9

）²+（y+

2

9

）²=

50

81

．（14分）

根据圆心在直线y=-2x上，设出圆心坐标和半径，写出圆的标准方程，把点A的坐标代入圆的方程得到一个关系式，由点到直线的距离公式表示圆心到直线x+y=1的距离，让距离等于圆的半径列出另一个关系式，两者联立即可求出圆心坐标和半径，把圆心坐标和半径代入即可写出圆的标准方程．

本题考点：圆的标准方程．

考点点评：此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆相切时满足的条件，会利用待定系数法求圆的标准方程，是一道中档题．