题目

已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+ax+2b=0的两个实数根，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）．则

b−2

a−1

的取值范围是______．

提问时间：2021-03-16

答案

解；∵x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+ax+2b=0的两个实数根，
∴设函数f（x）=x²+ax+2b，
∵x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）．
∴

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，即

2b＞0 a+2b+1＜0 2a+2b+4＞0

，
作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=

b−2

a−1

，则z的几何意义是区域内的点P（a，b）到定点A（1，2）两点之间斜率的取值范围，
由图象可知当P位于点B（-3，1）时，直线AB的斜率最小，此时k AB＝

1−2

−3−1

＝

1

4

，
可知当P位于点D（-1，0）时，直线AD的斜率最大，此时kAD＝

0−2

−1−1

＝1，
∴

1

4

＜z＜1，
则

b−2

a−1

的取值范围是(

1

4

，1)．
故答案为：(

1

4

，1)．

利用二次方程根的分布，建立不等式关系，利用线性规划以及

b−2

a−1

的几何意义求

b−2

a−1

的取值范围．

本题考点：简单线性规划；函数的零点．

考点点评：本题主要考查二次方程根的分布，将二次方程转化为二次函数，然后利用线性规划求出目标函数的取值范围，注意目标函数的几何意义．