题目

经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0.l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0,为什么,在这个方程中无论待定系数取什么实数,都得不到A2x+B2y+C2=0,L1与L2的交点处不久可以得到L2为0吗?

提问时间：2021-03-15

答案

A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0表示的是经过两条直线交点的所有直线,也就是表示一族直线而非一条直线.对于每一个特定的系数λ,A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0都会表示一条直线.
对于您的问题,其实在交点处,我们分别可以得到A1x+B1y+C1=0以及A2x+B2y+C2=0
所以A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）就变成了0+λ*0=0,
是满足A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0的
这也是为什么A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0可以表示过交点的直线,
因为首先这个方程本身是个一次方程,表示的是直线
其次这个方程在交点处成立,所以此直线过L1,L2交点
当然这族直线中,是不包括A2x+B2y+C2=0这条直线的,
相反的如果是λ(A1x+B1y+C1)+A2x+B2y+C2=0就不包括直线L1了