题目

X^2+Y^2=1 ,a^2+b^2=3 ,ax+by的最小值为?
X^2+Y^2=1 ,a^2+b^2=3 ,ax+by的最小值为?

提问时间：2021-03-15

答案

两方程X^2+Y^2=1 ,a^2+b^2=3可以看成是两个圆,两圆上的点分别为（x,y）（a,b）
而ax+by刚好是向量（x,y）（a,b）的内积,根据向量内积的定义,向量内积=|a||b|cos
当夹角为90度,即垂直时,向量有最小值0,而当夹角为0度时,有最大值
因此,
当向量（x,y）（a,b）夹角成90度时,min(ax+by)＝0,
当向量（x,y）（a,b）夹角成0度时,max(ax+by)＝√3x＋√3y＝√6,
方法二：
由于是圆,所以设X^2+Y^2=1 ,a^2+b^2=3是的点分别是(cosα,sinα),（√3cosβ,√3sinβ)
则ax+by＝√3（cosαcosβ＋sinαsinβ）＝√3cos（α－β）
可见－√3≤ax+by≤√3