题目

已知f(x)=x³ ax² bx c在x=1与x=-2时都取得级值.(1)求a,b的值.
(2)若在x∈[-3,2]上,f(x)＞1/c-1/2恒成立,求c的取值范围.

提问时间：2021-03-15

答案

f(x)=x^3+ax^2+bx+c,则：
f'(x)=3x^2+2ax+b,
f(x)在x=1与x=-2时都取得极值,即
f'(1)=2a+b+3=0,
f'(-2)=-4a+b+12=0,
解得：a=3/2, b=-6.
f'(x)=3x^2+3x-6=3(x-1)(x+2),
x<-2时, f'(x)>0；
-2x>1时, f'(x)>0.
所以函数f(x)=x^3+3/2*x^2-6x+c
在(-无穷,-2)递增；(-2,1)在递减；在(1,+无穷)递增.
当-3<=x<=-2时,f(x)最小值为：f(-3),
f(x)>1/c-1/2恒成立,所以
f(-3)=c+9/2>1/c-1/2,
解得：
当-2f(x)>1/c-1/2恒成立,所以
f(1)=c-7/2>1/c-1/2,
解得：
方法就是这样,下面你自己去解不等式.
答案应为：(3-√13)/2(3+√13)/2