题目

如图所示，ABCDE为固定在竖直平面内的轨道，ABC为直轨道，AB光滑，BC粗糙，CDE为光滑圆弧轨道，轨道半径为R，直轨道与圆弧轨道相切于C点，其中圆心O与BE在同一水平面上，OD竖直，∠COD=θ，（θ＜10°）．现有一质量为m的小物体（可以看作质点）从斜面上的A点静止滑下，小物体与BC间的动摩擦因素为μ，现要使小物体第一次滑入圆弧轨道即刚好做简谐运动（重力加速度为g）．求：

（1）小物体过D点时对轨道D点的压力大小．
（2）直轨道AB部分的长度S．

提问时间：2021-03-15

答案

（1）小物体下滑到C点速度为零．
小物体才能第一次滑入圆弧轨道即刚好做简谐运动．
从C到D由机械能守恒定律有：mgR（1-cosθ）=

1

2

mv_D²    ①
在D点用向心力公式有：F-mg=m

vD2

R

 ②
解以上二个方程可得：F=3mg-2mgcosθ
由牛顿第三定律可得小物体对D点的压力大小F′=3mg-2mgcosθ
（2）从A到C由动能定理有：
mgsinθ（S+Rcotθ）-μmgcosθ•Rcotθ=0
解方程得：S=（μcot² θ-cotθ）R
答：（1）小物体过D点时对轨道D点的压力大小3mg-2mgcosθ．
（2）直轨道AB部分的长度S为（μcot² θ-cotθ）R．

先根据机械能守恒定律求出到达D点时的速度大小然后根据牛顿第二定律列方程求所受支持力的大小；
对全过程应用动能定理列方程即可求解．

本题考点：机械能守恒定律；牛顿第二定律；牛顿第三定律；向心力．

考点点评：本题是动能定理、向心力公式知识的综合，小物体下滑到C点速度为零，小物体才能第一次滑入圆弧轨道即刚好做简谐运动．