题目

关于高数(斜渐近线问题)..
如果存在直线L:y=kx+b,使得当x趋于无穷(或x趋于正无穷,x趋于负无穷)时,曲线y=f(x)上的动点M(x,y)到直线L的距离d(M,L)趋于0,则称L为曲线y=f(x)的渐近线.当直线L的斜率k不等于0时,称L为斜渐近线.
证明:直线L:y=kx+b为曲线y=f(x)的渐近线的充分必要条件是 k=lim[f(x)/x](x趋于无穷或正无穷或负无穷) b=lim[f(x)-kx](x趋于无穷或正无穷或负无穷)
lim f（x）-kx-b=0的f（x）-kx-b不是要有绝对值吗.应该是lim |f（x）-kx-b|=0吧..

提问时间：2021-03-15

答案

是的,疏忽了,对不起,但答案并不影响,还有lim |f（x）-kx-b|=0是根据距离趋于零推出的,为了说明这一点,又想了一个几何的方法希望和你分享一下
其实这里的距离指的是动点到直线的距离并不完全是y的增量,但我们可以构造直角三角形,距离是垂直的概念,我们可以以点到直线距离为直角边,而y的增量为斜边,这样二者之差乘或除一个cos夹角,其值有界,故lim |f（x）-kx-b|=0 成立,其余步骤同下,使用这种方法也可以证明距离公式,避免了大量代数运算.
先证充分,只需证明若 k=lim[f(x)/x] x→∞ b=lim[f(x)-kx] x→∞
则 lim f（x）-kx-b=0 x→∞ （趋于0极限为0）把b的极限式代入即可,此时k,b是常量,所以成立.（先是lim kx-f(x)+b/sqrt(k^2+1) =0 分母常量,分子极限为0,分子取负取极限仍为零）
再证必要,只需证明lim f（x）-kx-b=0 x→∞ 则 k=lim[f(x)/x] x→∞ b=lim[f(x)-kx] x→∞
lim f（x）-kx-b=0 x→∞ =limx【f（x）/x-k-b/x 】limx不等0 只能lim【f（x）/x-k-b/x 】=0 b是常量,所以limb/x=0
则k=lim[f(x)/x]
b是常量lim f（x）-kx-b=0 移项得 b=lim[f(x)-kx]