题目

关于x的二次函数y=x平方-2mx-m的图像与x轴交于A(x1,0)B(x2,0)两点且x1＜0＜x2,与y轴交于C点且∠BAC=∠BCO
1、求这个二次函数的解析式
2、以点D（根号二,0）为圆心做圆D,与y轴相切与点O,过抛物线上一点E（x3,t）（t＞0,x3＜0）作x轴的平行线与圆D交于F、G两点,与抛物线交于另一点H.问：是否存在实数t,使得EF+GH=FG?若存在,请求出t的值；若不存在,请说明理由

提问时间：2021-03-15

答案

1.图像与x轴交于A(x1,0)B(x2,0)两点,则二次函数可表达为y = (x - x₁)(x - x₂)
= x² - (x₁ + x₂)x + x₁x₂
C(0,x₁x₂),且x₁x₂ < 0
tan∠BCO = |OB|/|OC| = |x₂|/|x₁x₂| = x₂/(-x₁x₂) = -1/x₁
∠BAC与AC的倾斜角互补,tan倾斜角 = tan(π - ∠BAC) = -tan∠BAC
tan倾斜角 = (x₁x₂ - 0)/(0-x₁) = -x₂
tan∠BAC = x₂ = tan∠BCO = -1/x₁
x₁x₂ = -1 = -m
m = 1
y = x² - 2x -1
2.EF + GH = FG = FH + GH
EF = FH
即F在抛物线的对称轴上.
y = x² - 2x -1 = (x - 1)² -2
对称轴:x = 1
圆D方程:(x - √2)² + y² =2
带入x = 1,t = y = √(2√2 -1) (-√(2√2 -1)< 0,舍去)