题目

较难
f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)的图像关于x=-a/2b对称,据此可推测对任意的非零实数a,b,c,m,n,p关于x的方程m[f(x)]^2+nf(x)+p=0的解集都不可能是（ ）
A.{1,2} B{1,4} C{1,2,3,4} D{1,4,16,64}
选D

提问时间：2021-03-15

答案

楼主你是不是对称轴条件给错了?题目本来应该是x=-b/2a对不对?,如果是的话,才有办法进行分析
设y=f(x),则关于y的方程my^+ny+p=0的解有可能是空集,有可能是一个,也有可能是两个
当不存在y值满足上式时,自然不存在相应的x,所以空集也有可能是上述方程的解集；
当y值有且只有一个解y0时,自然关于x的方程y0=ax^+bx+c的解的个数可以通过平行于x轴的直线y=y0与抛物线y=ax^+bx+c的图像的交点个数来解决,通过画出大概的示意图可以看出,两个函数要不然就没有交点,要不然有且只有一个交点（这个交点就是抛物线的最低点）,或者是两个交点,从而具体上述关于x的方程有几个解要视y0值与抛物线顶点的位置以及抛物线的开口情况而定,而当有两个这样的x值满足题意时,这两个x值自然没有在数值上有任何限制,从而A,B两个选项都是可能的
当y值有两个解时,可设为y1,y2,此时满足关于x的方程m[f(x)]^2+nf(x)+p=0的x值自然可以通过判断抛物线y=ax^+bx+c与两条直线y=y1和y=y2的交点个数来做判断,可以大致分析出,当两条直线均与抛物线相交时,这时唯一对应的一共存在2对也就是4个x值的情况,而无论是那一条直线那一条平行于x轴的直线与抛物线相交,它们的两个交点必然都是关于抛物线对称轴对称的,也就是说,如果设抛物线与y=y1的两个交点横坐标为（x1,x2）,抛物线与y=y2的两个交点横坐标为（x3,x4）,则必须满足使得x1+x2=x3+x4,此时比较C,D两个选项,可以轻易发现D项中无论集合中的四个数如何搭配都不能满足上述条件,而C项显然是可以的,为1+4=2+3
所以,选D
我说的有些繁琐,其实选择题不需要做这么清楚的分析,只要判断出两对儿解的和相等这个条件就可以自然而然的做出选择,之所以说这么多只是为了让楼主更清楚一旦题型改变之后应如何分类讨论,请笑纳!