题目

设x₁，x₂，…x_n是整数，并满足：
（1）-1≤x_i≤2，i=1，2，…n；
（2）x₁+x₂+…+x_n=19；
（3）x₁²+x₂²+…+x_n²=99．
求x₁³+x₂³+…+x_n³的最大值和最小值．

提问时间：2021-03-15

答案

设x₁，x₂，…x_n中有r个-1，s个1，t个2，
则

−r+s+2t＝19 r+s+4t＝99

，
得3t+s=59，0≤t≤19，
∴x₁³+x₂³+…+x_n³=-r+s+8t=6t+19，
∴19≤x₁³+x₂³+…+x_n³≤6×19+19=133，
在t=0，s=59，r=40时，x₁³+x₂³+…+x_n³，取得最小值19，
在t=19，s=2，r=21时，x₁³+x₂³+…+x_n³=99取得最大值133．

首先假设x₁，x₂，…x_n中有r个-1，s个1，t个2，进而得出r，s，t的关系式，进而得出x₁³+x₂³+…+x_n³=-r+s+8t=6t+19，从而确定其取值范围，利用极值法即可求出．

本题考点：整数问题的综合运用．

考点点评：此题主要考查了整数问题的综合应用，假设出x₁，x₂，…x_n中有r个-1，s个1，t个2，运用已知条件得出19≤x₁³+x₂³+…+x_n³≤6×19+19=133，是解决问题的关键．