题目

单调有界定理的“变形”的正确性
单调有界定理：若数列递增（递减）有上界（下界）,则数列收敛,即单调有界数列必有极限.
我想问：“若单调递增（递减）且有极限,则数列有上界（下界）.”这个命题是否正确?最好有证明.

提问时间：2021-03-15

答案

这个命题是正确的.实际上任意收敛数列都是有界的(上界下界都存在).设lim{n → ∞} a[n] = b,由极限的定义,对ε = 1 > 0,存在N,使得n > N时|a[n]-b| < ε = 1.于是对n > N,有b-1 < a[n] < b+1.然而n ≤ N只有有限项,...