题目

一道关于高阶导数的题
f(x)=(x的立方) 乘以 (2x的正弦),求这个函数在x=0处的50阶导数~
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很纠结,

提问时间：2021-03-15

答案

在x=0附近2x=0,因此可以利用sin2x的麦克劳林展开式
f(x)=x^3*[2x-(2x)^3/3!+(2x^5)/5!+...+(-1)^(n-1)(2x)^(2n-1)/(2n-1)!]
对f(x)求50阶导数,则分别对每一项求50阶导数,由于
x^3*(-1)^(n-1)*(2x)^(2n-1)/(2n-1)!在x的幂小于50的时候求导的结果都是0,对于大于幂大于50的时候则其导数是x的正数幂,因此代入x=0时结果还是0,唯一一个非零的项就是x^3*(-1)^(n-1)*(2x)^(2n-1)/(2n-1)!x的幂等于50,也就是2n-1+3=50,n=24,此时
f50(0)=[x^3*(-1)^23*(2x)^47/47!]|求50次导数
=[-2^47*x^50/47!]|求50次导数
=-2^47*50*49*48*...*2*1/47!
=-2^47*50!/47!
=-2^47*50*49*48=