题目

数列问题!追加!
已知数列An的前n项和为Sn,且满足A1=1/2,A(n+1)=-2S(n+1)Sn
求证数列1/Sn是等差数列
求Sn和an

提问时间：2021-03-15

答案

A(n+1)=-2S(n+1)Sn
S(n+1)-Sn=-2S(n+1)Sn
若Sn=0,则S(n+1)=0,则an+1=0矛盾
所以Sn≠0,S(n+1)≠0
两边同时除以SnS(n+1)得
1/Sn-1/S(n+1)=-2
1/S(n+1)-1/Sn=2
所以1/Sn是等差数列
1/S1=1/a1=2
所以1/Sn=2n
Sn=1/(2n)
当n>1时
an=Sn-S(n-1)=1/(2n)-1/(2n-2)=-1/(2n(n-1))
所以当n=1时,an=1/2,当n>1时an=-1/(2n(n-1))