题目

什么是两矩阵复合运算?表达式是啥?

提问时间：2021-03-15

答案

只要是可以称为矩阵的数列都是满足数的运算法则的
这里首先要弄清楚什么是矩阵
矩阵就是由方程组的系数及常数所构成的方阵.
把用在解线性方程组上既方便,又直观.例如对于方程组.
a1x+b1y+c1z=d1
a2x+b2y+c2z=d2
a3x+b3y+c3z=d3
来说,我们可以构成两个矩阵：
a1b1c1a1b1c1d1
a2b2c2a2b2c2d2
a3b3c3a3b3c3d3
因为这些数字是有规则地排列在一起,形状像矩形,所以数学家们称之为矩阵,通过矩阵的变化,就可以得出方程组的解来.
矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的.
但是追根溯源,矩阵最早出现在我国的＜九章算术＞中,在＜九章算术＞方程一章中,就提出了解线性方程各项的系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状.随后移动处筹,就可以求出这个方程的解.在欧洲,运用这种方法来解线性方程组,比我国要晚2000多年.
数学上,一个m×n矩阵乃一m行n列的矩形阵列.矩阵由数组成,或更一般的,由某环中元素组成.
矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析,以及组合数学等.请参考矩阵理论.
目录 [隐藏]
1 历史
2 定义和相关符号
2.1 一般环上构作的矩阵
2.2 分块矩阵
3 特殊矩阵类别
4 矩阵运算
5 线性变换,秩,转置
6 Jacobian 行列式
7 参见
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历史
矩阵的研究历史悠久,拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究.
作为解决线性方程的工具,矩阵也有不短的历史.1693年,微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨建立了行列式论(theory of determinants).1750年,加布里尔·克拉默其后又定下了克拉默法则.1800年代,高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法.
1848年詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特首先创出matrix一词.研究过矩阵论的著名数学家有凯莱、威廉·卢云·哈密顿、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和冯·诺伊曼.
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定义和相关符号
以下是一个 4 × 3 矩阵：
某矩阵 A 的第 i 行第 j 列,或 i,j位,通常记为 A[i,j] 或 Ai,j.在上述例子中 A[2,3]=7.
在C语言中,亦以 A[i][j] 表达.(值得注意的是,与一般矩阵的算法不同,在C中,"行"和"列"都是从0开始算起的)
此外 A = (aij),意为 A[i,j] = aij 对于所有 i 及 j,常见于数学著作中.
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一般环上构作的矩阵
给出一环 R,M(m,n,R) 是所有由 R 中元素排成的 m× n 矩阵的集合.若 m=n,则通常记以 M(n,R).这些矩阵可加可乘 (请看下面),故 M(n,R) 本身是一个环,而此环与左 R 模 Rn 的自同态环同构.
若 R 可置换,则 M(n,R) 为一带单位元的 R-代数.其上可以莱布尼茨公式定义 行列式：一个矩阵可逆当且仅当其行列式在 R 内可逆.
在维基百科内,除特别指出,一个矩阵多是实数矩阵或虚数矩阵.
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分块矩阵
分块矩阵 是指一个大矩阵分割成“矩阵的矩阵”.举例,以下的矩阵
可分割成 4 个 2×2 的矩阵
.
此法可用于简化运算,简化数学证明,以及一些电脑应用如VLSI芯片设计等.
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特殊矩阵类别
对称矩阵是相对其主对角线（由左上至右下）对称,即是 ai,j=aj,i.
埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称,即是 ai,j=a*j,i.
特普利茨矩阵在任意对角线上所有元素相对,是 ai,j=ai+1,j+1.
随机矩阵所有列都是概率向量,用于马尔可夫链.
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矩阵运算
给出 m×n 矩阵 A 和 B,可定义它们的和 A + B 为一 m×n 矩阵,等 i,j 项为 (A + B)[i,j] = A[i,j] + B[i,j].举例：
另类加法可见于矩阵加法.
若给出一矩阵 A 及一数字 c,可定义标量积 cA,其中 (cA)[i,j] = cA[i,j].例如
这两种运算令 M(m,n,R) 成为一实数线性空间,维数是mn.
若一矩阵的列数与另一矩阵的行数相等,则可定义这两个矩阵的乘积.如 A 是 m×n 矩阵和 B 是 n×p矩阵,它们是乘积 AB 是一个 m×p 矩阵,其中
(AB)[i,j] = A[i,1] * B[1,j] + A[i,2] * B[2,j] + ...+ A[i,n] * B[n,j] 对所有 i 及 j.
例如
此乘法有如下性质：
(AB)C = A(BC) 对所有 k×m 矩阵 A,m×n 矩阵 B 及 n×p 矩阵 C ("结合律").
(A + B)C = AC + BC 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 n×k 矩阵 C ("分配律").
C(A + B) = CA + CB 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 k×m 矩阵 C ("分配律").
要注意的是：可置换性不一定成立,即有矩阵 A 及 B 使得 AB ≠ BA.
对其他特殊乘法,见矩阵乘法.
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线性变换,秩,转置
矩阵是线性变换的便利表达法,皆因矩阵乘法与及线性变换的合成有以下的连系：
以 Rn 表示 n×1 矩阵（即长度为n的矢量）.对每个线性变换 f :Rn -> Rm 都存在唯一 m×n 矩阵 A 使得 f(x) = Ax 对所有 x ∈ Rn.这矩阵 A "代表了" 线性变换 f.今另有 k×m 矩阵 B 代表线性变换 g :Rm -> Rk,则矩阵积 BA 代表了线性变换 g o f.
矩阵 A 代表的线性代数的映像的维数称为 A 的矩阵秩.矩阵秩亦是 A 的行（或列）生成空间的维数.
m×n矩阵 A 的转置是由行列交换角式生成的 n×m 矩阵 Atr （亦纪作 AT 或 tA）,即 Atr[i,j] = A[j,i] 对所有 i and j.若 A 代表某一线性变换则 Atr 表示其对偶算子.转置有以下特性：
(A + B)tr = Atr + Btr,(AB)tr = BtrAtr.