题目

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知

cosA−3cosC

cosB

＝

3c−a

b

．
（Ⅰ）求

sinC

sinA

的值；
（Ⅱ）若B为钝角，b=10，求a的取值范围．

提问时间：2021-03-15

答案

（本小题满分14分）
（I）由正弦定理，设

a

sinA

＝

b

sinB

＝

c

sinC

＝k，
则

3c−a

b

＝

3ksinC−ksinA

ksinB

＝

3sinC−sinA

sinB

，
所以

cosA−3cosC

cosB

＝

3sinC−sinA

sinB

．…（4分）
即（cosA-3cosC）sinB=（3sinC-sinA）cosB，
化简可得sin（A+B）=3sin（B+C）．…（6分）
又A+B+C=π，
所以sinC=3sinA
因此

sinC

sinA

＝3．…（8分）
（II）由

sinC

sinA

＝3得c=3a．…（9分）
由题意

a+c＞b a2+c2＜b2

，…（12分）
∴

5

2

＜a＜

10

…（14分）

（Ⅰ）直接利用正弦定理化简已知表达式，通过两角和的正弦函数与三角形的内角和，求出

sinC

sinA

的值；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）求出a与c的关系，利用B为钝角，b=10，推出关系求a的取值范围．

本题考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．

考点点评：本题考查正弦定理与两角和的正弦函数的应用，注意三角形的判断与应用，考查计算能力．