题目

若三角形的三边为a，b，c，且满足a⁴+b⁴+c⁴=a²b²+b²c²+c²a²，试说明该三角形为等边三角形．

提问时间：2021-03-14

答案

a⁴+b⁴+c⁴=a²b²+b²c²+c²a²左右两边都×2整理得：2a⁴+2b⁴+2c⁴=2a²b²+2b²c²+2c²a²，
写成完全平方的形式为：（a²-b²）²+（b²-c²）²+（c²-a²）²=0，
∵a，b，c分别为三角形的三边，
∴a，b，c具有非负性，
∴a²-b²=0，b²-c²=0，c²-a²=0
∴a²=b²，b²=c²，c²=a²
∴解得a=b=c，
∴该三角形为等边三角形．