题目

如图，以△ABC的三边为边分别向形外作正方形ABDE、CAFG、BCHK．连接EF、GH、KD．求证：以EF、GH、KD为边可以构成一个三角形，并且所构成的三角形的面积等于△ABC面积的3倍．

提问时间：2021-03-14

答案

证明：把△AEF沿AB平移，△HCG沿CB方向平移，
使A、C重合于B，F、G重合于I，连接DI，BI，KI，
∴△DBI≌△AEF，△BIK≌△HCG，
可得∠EAF+∠GCH+∠DBK=360°，
因此可拼成一个△DIK，
把△GCH绕C点旋转90°，得到△BCG′，
可得A，C，G′在一条直线上，且C为AG′的中点．
所以S_△BCG′=S_△ABC，因此S_△BIK=S_△ABC，同理S_△DBK=S_△DBI=S_△ABC，
因此由DK、EF、GH为三边构成的△DIK的面积S_△DIK=3S_△ABC．