题目

已知等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，a_n的前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，b₁=1且b₂S₂=16，b₃S₃=60．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

提问时间：2021-03-14

答案

（1）设数列{a_n}的公差为d，，{b_n}的公比为q，据题意得

(6+d)q＝16 (9+3d)q2＝60

解得

d＝2 q＝2

∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1，b_n=2^n-1
（2）∵a_nb_n=（2n+1）•2^n-1
∴T_n=3×2⁰+5×2+7×2²+…+（2n+1）×2^n-1    ①
2T_n=+3×2+5×2²+7×2³+…+（2n-1）×2^n-1+（2n+1）×2ⁿ   ②
①-②得-T_n=3+2²+2³+…+2ⁿ-（2n+1）×2ⁿ
∴T_n=（2n-1）×2ⁿ+1

（1）利用等差数列、等比数列的通项公式将已知等式用首项、公差、公比表示，解方程组求出公差、公比，求出通项公式
（2）由于通项是一个等差数列与等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．

本题考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．

考点点评：解决等差数列、等比数列问题常用的方法是基本量法；求数列的前n项和问题关键是判断出通项的特点，据特点选择合适的求和方法．