题目

对正数x、y满足x+y=1,则xy+1/xy的取值范围是

提问时间：2021-03-14

答案

x+y=1
(√x - √y)^2 + 2√x√y = 1
1-2√x√y = (√x -√y)^2 ≥0
√x√y ≤1/2
xy≤1/4
同时 xy > 0
则 xy ∈(0,1/4]
设 z=xy
原问题转化成求函数 z + 1/z 在定义域 (0,1/4]区间上的值域问题.
z+1/z =(√z - 1/√z)^2 + 2
如果不考虑z的定义域,那么上面这个函数在 z=1 时取得最小值.而在 z=1 最小值点的两侧,显然函数会单调递减和递增.即在 (0,1/4]区间上单调递减.
因此 z+1/z 在 (0,1/4]区间上的最小值取在 z=1/4,这时候 z+1/z =5/4.
而随着 z 趋近于0,则 1/z 趋近正无穷大,而 z 趋近于0.因此 z + 1/z 趋近正无穷大.
综上所述,xy + 1/xy 的值域范围是 [5/4,+∞）
另外 z+1/z 在区间 (0,1/4]上的单调递减也可以采用如下方式证明：
设 0