题目

一元高次项因式分解的解法

提问时间：2021-03-14

答案

一元高次项因式分解实际还是我们平常见的一些分解因式的方法,不过平常的提取公因式在高次项中不多见.由公式中的字母可以用任意的多项式来代替,因此我们平常见的公式仍然是高次因式分解的主要方法,还有拆项,补项在高次因式分解中常用到,具体方法如下：
一运用公式法
①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)
②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2
③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2).
立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2).
④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3
⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]
a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)
二分组分解法
分组分解法：把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法.
分组分解法必须有明确目的,即分组后,可以直接提公因式或运用公式.
三拆项、补项法
拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意,必须在与原多项式相等的原则进行变形.
四十字相乘法
①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分 x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）
②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解
如果能够分解成k＝ac,n＝bd,且有ad＋bc＝m 时,那么
kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）
其中：ac＝k bd＝n ad＋bc＝m
如：(a^8+a^6+a^4+a^2+1)
做这个因式分解题我们联想到公式的后半部分：
a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]
因为可以把题目中的a^2当做整体,就有上面公式的后半部分：
a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]
然后补上：
a^n-b^n
就可以用上面的公式进行因式分解了,这样就自然可以进行如下分解了
(a^8+a^6+a^4+a^2+1)
=(a^2-1)(a^8+a^6+a^4+a^2+1)/(a^2-1)
=(a^10-1)/(a^2-1)
=(a^5+1)(a^5-1)/(a^2-1)
=(a+1)(a^4+a^3-a+1)(a-1)(a^4+a^3+a^2+a+1)/(a^2-1)
=(a^4+a^3-a+1)(a^4+a^3+a^2+a+1)
注：你要真正学好高次项因式分解,关键是你在平时多做这类题目,多总结.你如果只记人家介绍的方法,看起来很精辟,如果你不多做练习的话是变不成自己的东西的.
多项式的因式分解是有很难的题目的,因为我们可以随变找两个多项式相乘,然后把相乘的结果拿出来,让其它人去因式分解,因此有些多项式的因式分解都可以把数学家都难住,因此你要真正学好的话,你可以平时先出两个多项式相乘的题目,进行化简,然后把过程倒过来就在一个多项式的因式分解了.你这样做的多了自然就能总结出你自己的东西了.