题目

当x＞0时，证明：不等式e^x＞1+x+

1

2

x²成立．

提问时间：2021-03-14

答案

证明：令f(x)＝ex−1−x−

1

2

x2，
则f'（x）=e^x-1-x，
再令g（x）=f'（x），则g'（x）=e^x-1，
∵x＞0，∴e^x-1＞0，即g'（x）＞0，
∴g（x）在[0，+∞）上为增函数，
由于x＞0，则g（x）＞g（0）=e⁰-1=0，即f'（x）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，
由x＞0知，f(x)＞f(0)＝e0−1−0−

1

2

×02＝0，
即e^x-（1+x+

1

2

x²）＞0，
∴e^x＞1+x+

1

2

x²，得证．

构造函数f(x)＝ex−1−x−

1

2

x2，通过计算发现f（0）=0，只需证明f（x）在[0+∞）上为增函数即可，问题转化为证明f'（x）＞0，再令g（x）=f'（x），通过计算又发现g（0）=0，只需证明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，问题转化为证明g'（x）＞0，而此式容易证明．

本题考点：不等式的证明．

考点点评：1．当求证不等式是由几个基本初等函数构成的比较复杂的条件不等式，可考虑通过构造新的函数，利用导数研究函数的单调性，从而达到证明的目的．
2．利用导数证明不等式是近几年高考的热点之一，证明f（x）＞g（x）的一般步骤是：
（1）构造函数h（x）=f（x）-g（x）；
（2）求h'（x）；
（3）判断h（x）的单调性；
（4）求h（x）的最小值或值域；
（5）证明[h（x）]_min＞0成立；
（6）得出结论．