题目

在求极限中,等价无穷小能不能在多项式无穷小之比时使用,如果能,应该注意哪些问题

提问时间：2021-03-14

答案

当为乘积时可用等价无穷小代换求极限
但是当加减时就需要先计算
举个例子
（sinx-tanx）/x^3 x趋近于0的极限
sinx=x+f1（x） tanx=f2（x）
sinx-tanx=f1（x）-f2（x）=f（x）
[f1（x）f2（x）f（x）都是x高阶无穷小]
因为二者相减把已知的部分都抵消掉了
剩下的部分是f（x）是一个未知阶数的无穷小（只知道它比x高阶） 可能是x^2的等价无穷小 这是极限为∞ 也可能是x^3的等价无穷小 这时极限为常数 如果是x^4的等价无穷小 那么极限就是0了
所以当加减变换把已知部分抵消掉的时候不能用等价无穷小代换
否则就可以
比如说sinx+tanx=2x+f（x） 就是0了
还有比较特殊的情况 比如说sinx-tanx/x x趋近于0的极限
这时等价无穷小代换可得f（x）/x 因为f（x）是x的高阶无穷小 所以极限为零
总的来说就是不能肯定的时候 代换时加上高阶无穷小余项
其他的要具体问题具体分析,一般的：
无穷小× 无穷小＝ 无穷小
无穷小＋ 无穷小＝ 无穷小
无穷小－ 无穷小＝ 无穷小
除就不能用了
换句话说：当乘积形式的分子分母同时趋于零时,就可以用了.如果分子分母中有加减法时,慎用.最好改用洛必达法则（分子分母同时为未定式时）来运算.