题目

正方形ABCD的边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM⊥MN,当M运动到什么位置时,Rt△ABM∽Rt△AMN
（利用比例）

提问时间：2021-03-14

答案

因为Rt△ABM∽Rt△AMN,其中∠ABM=∠AMN=90°
所以,∠BAM=∠MAN
所以：AB/AM=BM/MN
在Rt△ABM中,由勾股定理得到：AM=√(16+x^2)
由(1)的过程知,CN=x(4-x)/4
所以,在Rt△MCN中由勾股定理得到：
MN=√{(4-x)^2+[x(4-x)/4]^2}=√{(4-x)^2+[x^2(4-x)^2/16]}
=√[(4-x)^2*(x^2+16)]/16
=[(4-x)/4]*√(x^2+16)
代入(1)中有：4/√(16+x^2)=x/[(4-x)/4]*√(x^2+16)
所以：x/(4-x)=1
解得：x=2