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题目
如图,已知点F是正方形ABCD的边BC的中点,CG平分∠DCE,GF⊥AF.求证:AF=FG.

提问时间:2021-03-14

答案
证明:取AB的中点M,连接FM.
∵点F是正方形ABCD的边BC的中点,
∴BF=BM,
∴∠BMF=45°,
∴∠AMF=135°.
∵CG平分∠DCE,
∴∠GCE=45°,
∴∠FCG=135°,
∴∠AMF=∠FCG.
∵∠B=90°,∴∠FAM=90°-∠AFB,
∵GF⊥AF,∴∠GFC=90°-∠AFB,
∴∠FAM=∠GFC.
在△FAM和△GFC中,
∠FAM=∠GFC
AM=FC
∠AMF=∠FCG

∴△FAM≌△GFC,
∴AF=FG.
取AB的中点M,连接FM,由∠FAM=∠GFC,AM=FC,∠AMF=∠FCG=135°,可证△FAM≌△GFC,即得AF=FG,即可解题.

正方形的性质;全等三角形的判定与性质.

本题考查了正方形各边长相等的性质,考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等的性质,本题中求证△FAM≌△GFC是解题的关键.

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