题目

已知椭圆 

x2

4

+y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．
（1）当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；
（2）当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．

提问时间：2021-03-14

答案

（1）直线AM的斜率为1时，直线AM：y=x+2，（1分）
代入椭圆方程并化简得：5x²+16x+12=0，（2分）
解之得x1=-2，x2=-

6

5

，∴M(-

6

5

，

4

5

)．（4分）
（2）设直线AM的斜率为k，则AM：y=k（x+2），
则

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

化简得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．（6分）
∵此方程有一根为-2，∴xM=

2-8k2

1+4k2

，（7分）
同理可得xN=

2k2-8

k2+4

．（8分）
由（1）知若存在定点，则此点必为P(-

6

5

，0)．（9分）
∵kMP=

yM

xM+ 6 5

=

k( 2-8k2 1+4k2 +2)

2-8k2 1+4k2 + 6 5

=

5k

4-4k2

，（11分）
同理可计算得kPN=

5k

4-4k2

．（13分）
∴直线MN过x轴上的一定点P(-

6

5

，0)．（16分）

（1）根据直线AM的斜率为1时，得出直线AM：y=x+2，代入椭圆方程并化简得：5x²+16x+12=0，解得点M的坐标即可；（2）对于是否过x轴上的一定点问题，可先假设存在，设直线AM的斜率为k，则AM：y=k（x+2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系即可求得P点的坐标，从而解决问题．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题考查直接法求轨迹方程、直线与抛物线的位置关系、直线过定点问题．考查推理能力和运算能力．