题目

一阶线性微分方程通解
dy/dx+P（x）y=Q（x）的通解.我教科书上的解答过程看不太懂.不明白为什么可以先求解对应的齐次方程dy/dx=-P（x）y的通解.

提问时间：2021-03-14

答案

dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解.
此方程在现在这个状态,无法分离变量；分离不了变量,就无法求解.
最常用的方法,是先求一阶齐次方程dy/dx+P(x)y=0的通解,然后把积分常数换成x的函数u(x),
再将带u的通解y和y'代入原式,即可求出函数u(x)；最后即可求得原方程的通解.这个过程已经程式化,很容易掌握.不存在“为什么”的问题,只是一个方法.
由dy/dx+P(x)y=0,得dy/y=-P(x)dx,积分之得lny=-∫P(x)dx+lnC₁,故y=C₁e^[-∫P(x)dx]；
将C₁换成x的某个函数u,得y=ue^[-∫P(x)dx].(1)
对x取导数得dy/dx=(du/dx)e^[-∫P(x)dx]-ue^[-∫P(x)dx]P(x).(2)
将(1)和(2)代入原方程,得：
(du/dx)e^[-∫P(x)dx]-ue^[-∫P(x)dx]P(x)+ue^[-∫P(x)dx]P(x)=Q(x)
化简得(du/dx)e^[-∫P(x)dx]=Q(x)
这就可以分离变量了：
du={Q(x)e^[∫P(x)dx]}dx
积分就看求出u(x),再代入(1)式即得原方程的通解.