题目

如图所示，正方形ABCD边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的端点M、N分别在CD、AD上滑动，当DM= ___ 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．

提问时间：2021-03-14

答案

∵正方形ABCD边长是2
∴BE=CE=1，∠B=∠D=90°
∴在Rt△ABE中，AE=

22+12

=

5

第一种情况：当△ABE∽△MDN时，AE：MN=AB：DM，即

5

：1=2：DM，∴DM=

2 5

5

；
第二种情况：当△ABE∽△NDM时，AE：MN=BE：DM，即

5

：1=1：DM，∴DM=

5

5

．
所以DM=

2 5

5

或

5

5

．

根据题目已知条件发现这两个三角形都是直角三角形，如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．但此题中M、N的点未定，也就是边的对应关系未定，所以需分情况讨论．

本题考点：相似三角形的判定．

考点点评：本题考查了直角三角形相似的判定定理，需注意边的对应关系．