题目

设A,B是群G的两个子集,证明：AB≤G充分条件是AB=BA.
近世代数

提问时间：2021-03-14

答案

题目有点问题,应该是A,B为子群,求证AB是子群的充要条件是AB＝BA.
证：若AB是子群,则对于任意A的元素a及B的元素b,ab的逆b^(-1)*a^(-1)应在AB中,
反之亦然.
注意A^(-1)=A,B^(-1)=B,所以上面结果得到AB＝BA.
反之,若AB＝BA,则对于AB中的任意元素ab,其逆b^(-1)*a^(-1)在BA中,从而也在AB中,
即AB的每个元素的逆元仍在AB中；又,任取AB的两个元素a1b1,a2b2,它们的积为：
a1(b1*a2)b2,由于中间(b1*a2)属于BA,从而属于AB,可写成a3b3的形式,
所以a1(b1*a2)b2＝a1(a3b3)b2＝(a1a3)*(b3b2),属于AB,即AB关于乘法封闭,
所以AB是子群.
证毕!