题目

某县位于沙漠地带,人与自然进行长期的斗争,到1998年底全县的土地面积的绿化率已达40%.从1999年开始,每年将出现这样的局面,即到前一年年末的沙漠面积的20%将被绿化,与此同时,由于各种原因,到前一年年末已被绿化的面积5%又将重新被沙化.设全县土地面积为p,1998年底的绿化面积为a1,经过n年后绿化面积为a（n+1）.
（1）求a1*a2*a3；
（2）求证：a（n+1）-4p/5=3/4（an-4p/5）；
（3）求an.

提问时间：2021-03-14

答案

分析绿化面积的变化过程
总的土地=p=绿化+沙漠
1998年底的绿化率是40%,绿化部分是 40% ,沙漠部分是60%
绿化 X=40%p=a1 ==> 沙漠 Y= 60%p=3/2 a1
因此 总的土地 p=a1/40%=5a1/2=2.5 a1
假设 n年末 绿化部分 X 沙漠 部分 Y
每年 沙漠20%被绿化,而绿化部分有5%被风化
所以 绿化部分净增加量是 20%Y-5%X
n+1年末的绿化部分是 去年的绿化部分+绿化净增量
得到推导式 绿化部分 X（n+1）=X(n)+20%Y(n)-5%X(n)
又 X（n）+Y(n)=p
==> X(n+1)=X(n)+20%(p-X(n))-5%X(n)=0.2p+0.75X(n)
（*）
绿化部分 沙漠部分
1998年末 a1 3/2 a1
1999年末 0.2p+0.75a1 0.8p-0.75a1
2000年末 0.2p+0.75(0.2p+0.75a1) ……
……
（1） 因此得到 a2 a3 从而计算出 a1*a2*a3=……
（2） 由 （*）式 X（n）= 0.2p+0.75X(n)
==> X（n+1）-4p/5=3/4（Xn-4p/5）
(3) 由 上式 我们设 An=Xn-4p/5 A1=X1-4p/5=-a1
得到 A(n+1)=3/4 A(n)
An是等比数列 An=-(3/4)^(n-1)A1=-(3/4)^(n-1)a1
所以 Xn=An+4p/5 =[-(3/4)^(n-1)+2]a1