题目
高中数学题(抛物线题)
已知抛物线y=2x*x,直线y=kx+2交抛物线于A,B两点,M是线段AB的中点,过M做 X轴的垂线交抛物线于点N.1证明:抛物线在点N处的切线与AB平行;2.是否存在实数k使NA.NB=0,若存在,求k的值;若不存在说明理由.
已知抛物线y=2x*x,直线y=kx+2交抛物线于A,B两点,M是线段AB的中点,过M做 X轴的垂线交抛物线于点N.1证明:抛物线在点N处的切线与AB平行;2.是否存在实数k使NA.NB=0,若存在,求k的值;若不存在说明理由.
提问时间:2021-03-14
答案
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),x1>x2(点A在点B右侧)
将y=kx+2代入y=2x²,整理得
2x²-kx-2=0
∴x1+x2=k/2,x1x2=-1.
∵M是线段AB的中点,M的横坐标为(x1+x2)/2=k/4,而MN⊥x轴
∴N的横坐标为k/4
对函数y=2x²求导,得 y'=4x
所以,抛物线在N点出的切线斜率k'=4×k/4=k
故 抛物线C在N点处的切线斜率与AB的斜率相等
即 抛物线C在点N处的切线于AB平行 .
(2)假设存在这样的k
设N(x0,y0),由第一问得x0=k/4,y0=2x0²=k²/8.
∵向量NA·向量NB=(x1-x0,y1-y0)·(x2-x0,y2-y0)=0
∴(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0.①
又y1y2=2x1²·2x2²=4(x1x2)²=4,y1+y2=2x1²+2x2²=2(x1+x2)²-4x1x2=(k²/2)+4
所以,可将①式整理为
k^4+12k²-64=0
解得k²=4或k²=-16(舍)
故存在k=±2满足题意.
将y=kx+2代入y=2x²,整理得
2x²-kx-2=0
∴x1+x2=k/2,x1x2=-1.
∵M是线段AB的中点,M的横坐标为(x1+x2)/2=k/4,而MN⊥x轴
∴N的横坐标为k/4
对函数y=2x²求导,得 y'=4x
所以,抛物线在N点出的切线斜率k'=4×k/4=k
故 抛物线C在N点处的切线斜率与AB的斜率相等
即 抛物线C在点N处的切线于AB平行 .
(2)假设存在这样的k
设N(x0,y0),由第一问得x0=k/4,y0=2x0²=k²/8.
∵向量NA·向量NB=(x1-x0,y1-y0)·(x2-x0,y2-y0)=0
∴(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0.①
又y1y2=2x1²·2x2²=4(x1x2)²=4,y1+y2=2x1²+2x2²=2(x1+x2)²-4x1x2=(k²/2)+4
所以,可将①式整理为
k^4+12k²-64=0
解得k²=4或k²=-16(舍)
故存在k=±2满足题意.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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