题目

一道线代题
1 1 -1
1 0 -1
-3 0 3是否能对角化?
如果按照重根的计算上式的0是二重根,验证为不能对角化
可是如果做矩阵变化该矩阵=
1 1 -1
0 -1 0
0 0 0 明显对角线三个特征值不相等,可以对角化
两个结论相反,到底错在哪里?

提问时间：2021-03-14

答案

正常的用特征值特征向量法做对角化会吧?
先求出n个特征值(计重数,计复根),再分别求对应的特征向量.如果无关特征向量有n个,必可相似对角化.
步骤如下
第一求det(aE-A)=0,其中a为未知数,E为单位阵,det为求行列式运算.解出n个特征值a,b,c...
第二把特征值a,b,c...分别代入(aE-A)x=0,对应求出其特征向量x1,x2...
第三看看特征向量是否有n个,若有可对角化;或是看每个特征值的代数重数是否和几何重数相等,若每个都相等,则可对角化
回过头来看你的问题.
第一
可是如果做矩阵变化该矩阵=
1 1 -1
0 -1 0
0 0 0
做高斯消去法的矩阵变化形成的上面矩阵,是解Ax=0用的,或是看矩阵的稚用的
本题可见秩为2,所以0只能是一重根,所以你前边说的0是2重根严重不对.
第二,高斯消去法对应的矩阵变换和特征值是没有关系的.这是在你做题中发现的一个误区.
比如本题矩阵变换成
1 1 -1
0 -1 0
0 0 0
并不能说明特征值就是1,-1,0.只能说明非零特征根的个数(即秩)是多少.
切记,求对角化 或是特征根时,万不可用高斯消去来做.要用|aE-A|=0来解特征值a.
总结下,
第一,矩阵确实可相似对角化,0也不是二重根,本题有3个不等的特征值,有3个无关特征向量,故可对角化.
第二,对角化的题 或是求特征值的题,与高斯消去法无关,切不可如此做.
比如第一行010,第二行000,第三行000的矩阵,明显特征值是0,但是调换第一行第二行特征值就是0和1了.可见初等变换的高斯消去法得到的矩阵与原矩阵特征值未必相等.