题目

已知圆C与直线l：x+y-2=0和 圆P：（x-6)^2+(y-6)^2=18均相切,求圆C的面积的最小值及此事圆C的方程.

提问时间：2021-03-13

答案

过点P作OP垂直l交l于O点
Kl=-1
所以Kop=1
P(6,6)
OP的方程为y-6=x-6即x-y=0
要使圆C的面积最小,则圆心C在OP上
设C(a,a),则圆C的方程为(x-a)^2+(y-a)^2=r^2
联立方程组：x-y=0,x+y-2=0得x=1,y=1
联立方程组：x-y=0,(x-6)^2+(y-6)^2=0得x=3,y=3或x=9,y=9(舍去）
将（1,1）（3,3）代入
（1-a)^2+(1-a)^2=r^2
(3-a)^2+(3-a)^2=r^2
解得：a=2,r=根号2
Smin=πr^2=2π
圆C的方程为：（x-2)^2+(y-2)^2=2