题目

一道高三解析几何题
设f1,f2分别是椭圆x2/9+y2/4=1的左右焦点,若点p在椭圆上,且|向量pf1+向量pf2|=2根号5,求向量pf1和向量pf2的夹角

提问时间：2021-03-13

答案

首先,得f1（-√13,0）,f2（√13,0）；
设P（x,y),
则向量Pf1=（-√13-x,-y),Pf2=(√13-x,-y);
|向量pf1+向量pf2|=|(-2x,-2y)|=2√5,即4x^2+4y^2=20,x^2+y^2=5;
向量Pf1与Pf2夹角为tanα=|(k1-k2)/(1+k1k2)|,k1,k2分别为Pf1,Pf2斜率,即：
k1=y/(√13+x),k2=-y/(√13-x),
将k1,k2代入得：2√13y/(13-x^2)/(13-x^2-y^2)/(13-x^2)=2√13y/(13-x^2-y^2)=√13y/4,
由x^2/9+y^2/4=1.① x^2+y^2=5.②得x=3√5/5,y=4√5/5
把y代入,则tanα=√65/5,α=arctan√65/5.
由于是夹角,所以x,y全取正就行.
因为没有草纸,不知道答案对不对,但思路应该没错,如果有误,还望见谅.