题目

高数椭圆问题.
已知椭圆的中心O在坐标原点,对称轴为坐标轴,且过点A（1/2,√3）,B(√3/2,1)
(1).求椭圆的方程
(2).是否存在过点(2,0)的直线l交于点C,D ,使得OC⊥OD,若存在,求出直线CD的方程 若不存在,说明理由

提问时间：2021-03-13

答案

(1)
设方程为x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1
因为椭圆过A,B,
所以将A,B坐标带入,
解得：a^2 = 1 b^2 = 4
所以椭圆方程：x^2 + y^2 / 4 = 1
(2)
首先,若直线l斜率不存在,
即直线l为x=2,
则此直线与椭圆无交点.
不符题意.
则,设直线斜率为k
y=k(x-2)
与椭圆方程联立,化简得：
(k^2 + 4)x^2 - 4k^2 x + 4k^2 - 4 = 0
设交点C(x1, kx1 - 2k),交点D(x2, kx2 - 2k)
因为OC⊥OD
所以向量OC与向量OD的数量积=
x1 x2 + k^2(x1-2)(x2-2)
=(1+k^2)x1 x2 - 2k^2 (x1+x2) + 4k^2 = 0
由韦达定理：
x1 * x2 = 4(k^2 - 1)/(k^2 + 4)
x1 + x2 = 4k^2 / (k^2 + 4)
代入上面的方程,解得：
k^2 = 1/4
k = ± 1/2
所以直线l的解析式为：
y = ±1/2 * (x-2)