题目

已知Rt三角形ABC中,AC＝BC,角C＝90度,D为AB边的中点,角EDF＝90度,角EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F,当角EDF绕D点旋转到DE垂直AC于E时,易证S三角形DEF＋S三角形CEF＝1/2S三角形ABC.只要证这个.怎么证?我后面两问都会了,

提问时间：2021-03-13

答案

方法一：
∵CD是等腰直角三角形斜边的中线,∴∠ACD=45°=∠A,
∴AD=CD,
当DE⊥AC时,AE=CE,SΔCDE=1/2SΔACD,(实际上利用等腰三角形对称性直接可得),
同理：SΔCDF=1/2SΔBCD,
∴S四边形CEDF=1/2SΔABC.
方法二：
∵∠EDF=∠DEC=∠ACB=90°,
∴四边形DECF是矩形,
∵D为等腰直角三角形ΔABC的斜边AB中点,
∴CD平分∠ACB,∴∠ECD=45°,
∴ΔCDE是等腰直角三角形,CE=DE,
∴矩形DECF是正方形.
∵CD平分等腰ΔABC,
∴SΔADE=SΔCDE=SΔCDF=SΔBDF,
∴S正方形=1/2SΔABC.