题目

已知倾斜角为45°的直线l过点A（1，-2）和点B，点B在第一象限，|AB|＝3

2

．
（Ⅰ）求点B的坐标；
（Ⅱ）若直线l与双曲线C：

x2

a2

−y2＝1(a＞0)相交于E、F两点，且线段EF的中点坐标为（4，1），求a的值．

提问时间：2021-03-13

答案

（I）因为倾斜角为45°的直线l过点A（1，-2）和点B，
所以直线AB方程为y=x-3．
设点B（x，y），
由题意可得：

y＝x−3 (x−1)2+(y+2)2＝18

，
因为x＞0，y＞0，
所以解得x=4，y=1，
所以点B的坐标为（4，1）．
（II）由题意可得：联立直线与双曲线的方程

y＝x−3 x2 a2 −y2＝1

，
所以可得(

1

a2

−1)x2+6x−10＝0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
因为线段EF的中点坐标为（4，1），
所以x₁+x₂=

6a2

a2−1

=8，
所以a=2．

（I）先设直线AB方程为y=x-3，设点B（x，y），由

y＝x−3 (x−1)2+(y+2)2＝18

及B在第一象限即可求出答案．
（II）先联立直线方程与双曲线方程，消元转化为：(

1

a2

−1)x2+6x−10＝0，再由韦达定理求解．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，中点坐标公式与韦达定理以及两点间的距离公式．