题目

如图所示，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．

（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使△PBQ的面积等于8cm²？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使△PCQ的面积等于12.6cm²？

提问时间：2021-03-13

答案

（1）设x秒时，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ面积为8cm²，
由题意得

1

2

（6-x）•2x=8，解之，得x₁=2，x₂=4，
经过2秒时，点P到距离B点4cm处，点Q到距离B点4cm处；
或经4秒，点P到距离B点2cm处，点Q到距离B点8cm处，△PBQ的面积为8cm²，
综上所述，经过2秒或4秒，△PBQ的面积为8cm²；
（2）当P在AB上时，经x秒，△PCQ的面积为：

1

2

×PB×CQ=

1

2

×（6-x）（8-2x）=12.6，
解得：x₁=

25+2 85

5

（不合题意舍去），x₂=

25−2 85

5

，
经x秒，点P移动到BC上，且有CP=（14-x）cm，点Q移动到CA上，且使CQ=（2x-8）cm，
过Q作QD⊥CB，垂足为D，由△CQD∽△CAB得

QD

2x−8

＝

AB

AC

，
即  QD=

6(2x−8)

10

，
由题意得

1

2

（14-x）•

6(2x−8)

10

=12.6，解之得x₁=7，x₂=11．
经7秒，点P在BC上距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使△PCQ的面积等于12.6cm²．
经11秒，点P在BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm处，14＞10，点Q已超出CA的范围，此解不存在．
综上所述，经过7秒和

25−2 85

5

秒时△PCQ的面积等于12.6cm²．

（1）设x秒时．由三角形的面积公式列出关于x的方程，

1

2

（6-x）•2x=8，通过解方程求得x₁=2，x₂=4；
（2）过Q作QD⊥CB，垂足为D，构建相似三角形△CQD∽△CAB，由该相似三角形的对应边成比例得到

QD

2x−8

＝

AB

AC

，即QD=

6(2x−8)

10

；
然后由三角形的面积公式列出关于x的方程

1

2

（14-x）•

6(2x−8)

10

=12.6，解之得x₁=7，x₂=11．由实际情况出发，来对方程的解进行取舍．

本题考点：相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用．

考点点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的应用．灵活运用面积公式，列出方程，正确理解两解，合理取合．