题目

已知一动圆与C:X^2+(Y-1)^2=1内切和圆D:X^2+(Y=1)^2=4外切求动圆的圆心轨迹方程

提问时间：2021-03-13

答案

这个题目只要把图画出来分析一下就很简单.
园C是以(0,1)为圆心,1为半径的园
园D是以(0.-1)为圆心,2为半径的园
与园C内切,意味着动圆（设半径为r）的圆心距离(0,1)为1-r
与园D外切,意味着动圆（设半径为r）的圆心距离(0,-1)为2+r
就是说动圆圆心距离(0,1),(0,-1)的距离之和为3.这就是椭圆的一部分了,因为动圆的圆心只能在圆C内部.
考虑到圆C和圆D,相交与两点,通过方程联立,知道交点坐标为
（-根号15/4,3/4)和（根号15/4,3/4)
这两个点一定属于动圆圆心的轨迹,同时容易知道(0,3/2)也满足上述条件,
设这个椭圆方程为
y^2/a^2+x^2/b^2=1 (焦点在y轴上）,代入上边的三点坐标,可以计算出
a^2=9/4
b^2=5/4
所以轨迹方程为
y^2/(9/4)+x^2/(5/4)=1,x属于[－根号15/4,+根号15/4]