题目

已知函数f（x）=x²+aln x．
（I）当a=-2时，求函数f（x）的极值；
（II）若g（x）=f（x）+

2

x

在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．

提问时间：2021-03-13

答案

（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）
当a=-2时，f′(x)＝2x−

2

x

＝

2(x+1)(x−1)

x

当x变化时，f′（x），f（x）的值变化情况如下表

由上表可知，函数f（x）单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）
极小值是f（1）=1，没有极大值
（2）由g(x)＝x2+alnx+

2

x

得g′(x)＝2x+

a

x

−

2

x2

因为g（x）在[1，+∞）上是单调增函数
所以g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
即不等式2x+

a

x

−

2

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立即a≥ 

2

x

 −2x2在[1，+∞）上恒成立
令∅(x)＝

2

x

−2x2则∅′(x)＝−

2

x2

−4x当x∈[1，+∞）时，∅′(x)＝−

2

x2

−4x＜0
∴∅(x)＝

2

x

−2x2在[1，+∞）上为减函数
∅（x）的最大值为∅（1）=0
∴a≥0
故a的取值范围为[0，+∞）

（I）求出f（x）的导函数，列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，求出单调区间及函数的极值．
（II）令g（x）的导数大于等于0恒成立，分离出参数a，构造新函数，通过导数求出新函数的最小值，令a大于等于最小值即得到a的范围．

本题考点：利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系．

考点点评：求使函数单调的参数的范围时，若函数单增则令其导数大于等于0恒成立；若单减，则令其导数小于等于0恒成立．