题目

化简|-3k-1+n-km|/√(k^2+1)=|-4/k-5+n+m/k|/√(1/k^2+1)

提问时间：2021-03-13

答案

你说的是这道题吧
在平面直线坐标系xoy中,已知圆C1：(x+3)^2+(y-1)^2=4和圆C2：(x-4)^2+(y-5)^2=4.
设P为平面上的点,满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线L1和L2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线L1被圆C1截得的弦长为与直线L2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.
设点P坐标为(m,n),直线l1、l2的方程分别为：
y-n=k(x-m),y-n=-1/k(x-m)
即kx-y+n-km=0,-x/k-y+n+m/k=0
因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,两圆半径相等
由垂径定理,得：圆心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等
∴|-3k-1+n-km|/√(k^2+1)=|-4/k-5+n+m/k|/√(1/k^2+1)
化简,得：(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5
关于x的方程有无穷多解,有：2-m-n=0,m-n-3=0或m-n+8=0,m+n-5=0
解得：点P坐标为(-3/2,13/2)或(5/2,-1/2)