题目

在三棱柱ABC-A′B′C′中，已知AA′⊥平面ABC，AB=AC=AA′＝2，BC＝2

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，且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的表面积为______．

提问时间：2021-03-13

答案

∵△ABC中，AB=AC=2，BC＝23∴cos∠BAC=22+22−(23)22×2×2=-12，结合∠BAC∈（0，π）得∠BAC=120°再根据正弦定理，得△ABC的外接圆直径2R=BCsinA=4，即R=2设三棱柱外接球的球心为O，△ABC的外接圆心为O1，则OO1=...

在△ABC中结合正余弦定理，算出它的外接圆半径R=2，设三棱柱外接球的球心为O，△ABC的外接圆心为O₁，在Rt△AOO₁中利用勾股定理算出OA的长，即为外接球的半径，最后根据球的表面积公式，可得三棱柱外接球的表面积．

本题考点：球内接多面体；球的体积和表面积．

考点点评：本题给出特殊三棱柱，求它的外接球表面积，着重考查了直三棱柱的性质、球的表面积公式和多面体的外接球等知识，属于基础题．