题目

x,y∈R,x∧2+y∧2=4,求xy/(x+y-2)的最小值

提问时间：2021-03-13

答案

x^2+y^2=4
(x+y)^2-2xy=4
(x+y)^2-4=2xy
(x+y-2)(x+y+2)=2xy
xy/(x+y-2)=(x+y+2)/2
设其=k
则x=2k-2-y
代入
(2k-2-y)^2+y^2=4
2y^2-2(2k-2)y+(2k-2)^2-4=0
关于y的方程
△=4(2k-2)^2-8[(2k-2)^2-4]≥0
(2k-2)^2≤8
1-√2≤k≤1+√2
所以xy/(x+y-2)的最小值为1-√2