题目

已知抛物线y=-x²+（m-2）x+3（m+1）交x轴于A（x₁，0），B（x₂，0），交y轴的正半轴于C点，且x₁＜x₂，|x₁|＞|x₂|，OA²+OB²=2OC+1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线．如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由．

提问时间：2021-03-13

答案

（1）由条件知AO=|x₁|=-x₁，OB=|x₂|=x₂，OC=3（m+1），
∵OA²+OB²=2OC+1，x₁²+x₂²=6（m+1）+1，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=6（m+1）+1，
即（m-2）²+6（m+1）=6（m+1）+1，
得：m₁=3，m₂=1，
∵x₁＜x₂，|x₁|＞|x₂|，
∴x₁＜x₂=m-2＜0，
∴m=1．
∴函数的解析式为y=-x²-x+6
（2）存在与抛物线只有一个公共点C的直线．
C点的坐标为（0，6），
①当直线过C（0，6）且与x轴垂直时，直线也抛物线只有一个公共点，
∴直线x=0．
②过C点的直线y=kx+6，与抛物线y=x²-x+6只有一个公共点C，
即

y＝−x2−x+6 y＝kx+6

，只有一个实数解．
∴x²-（k+1）x=0，
又∵△=0，
∴（k+1）²=0，
∴k=-1，
∴y=-x+6．
∴符合条件的直线的表达式为y=-x+6或x=0．

（1）已知x₁＜x₂，|x₁|＞|x₂|，很显然，x₁＜0，x₂＞0，因此OA=-x₁，OB=x₂，然后根据OA²+OB²=2OC+1，以及一元二次方程根与系数的关系即可求出m的值．也就可得出函数的解析式．
（2）可根据抛物线的解析式求出C点的坐标，然后分两种情况进行讨论：
①过C的直线与y轴平行（或与x轴垂直），那么此时直线与抛物线只有一个交点．
②如果直线不与y轴平行，可根据C点坐标，设出直线的解析式，然后联立抛物线的解析式可得出一个关于x的一元二次方程，因为两函数只有一个交点，因此方程的△=0，由此可求出直线的解析式．

本题考点：二次函数综合题．

考点点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、二次函数解析式的确定以及函数图象交点等知识．