题目

已知f(x)=x^2-2x+m且|x-m|<3,求证|f(x)-f(m)|< 6|m|+15

提问时间：2021-03-13

答案

f(m)=m^2-m;
∴|f(x)-f(m)|
=|(x^2-2x+m)-(m^2-m)|
=|x^2-m^2-2x+2m|
=|(x^2-m^2)-2(x-m)|
=|(x+m)(x-m)-2(x-m)|
=|(x-m)(x+m-2)|
<3|(x+m-2)|.
∵|x-m|<3
∴-32m-5即2m-5于是-2|m|-5∴|(x+m-2)|<2|m|+5
那么|f(x)-f(m)|<3|(x+m-2)|<3×(2|m|+5)= 6|m|+15
得证