题目

泰勒公式中的一个问题
x→x0时,o(x-x0)=a2(x-x0)^2+o((x-x0)^2) 是为什么?

提问时间：2021-03-13

答案

意思就是当x->x0时,o(x-x0)就是比x-x0 (高一阶) 的再加上这个 (高一阶)的高阶无穷小
对任意初等连续可导函数 f(x) 在 x=x0处展开成带佩亚诺余项的的泰勒公式：
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + o(x-x0)
同时,多展开一级的时候：
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + (1/2!) * f''(x0)(x-x0)² + o[(x-x0)²]
两式相减就得出：
o(x-x0) = (1/2!) * f''(x0) * (x-x0)² + o[(x-x0)²]
此时,由f(x)的任意性就得出
o(x-x0) = a * (x-x0)² + o[(x-x0)²], 其实a可以是任意常数