题目

如图，AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在CD上．
求证：AB=AC+BD．

提问时间：2021-03-13

答案

证明：如图，

在AB上截取AF=AC，连接EF，
在△CAE和△FAE中，

AC＝AF ∠CAE＝∠FAE AE＝AE

，
∴△CAE≌△FAE（SAS），
则∠CEA=∠FEA，
又∠CEA+∠BED=∠FEA+∠FEB=90°，
∴∠FEB=∠DEB，
∵BE平分∠DBA，
∴∠DBE=∠FBE，
在△DEB和△FEB中，

∠DEB＝∠FEB EB＝EB ∠DBE＝∠FBE

，
∴△DEB≌△FEB（ASA），
∴BD=BF，
又∵AF=AC，
∴AB=AF+FB=AC+BD．

首先在AB上截取AF=AC，连接EF，证明△CAE≌△FAE，可证出∠CEA=∠FEA，可得到∠FEB=∠DEB，再证明△DEB≌△FEB，可得到BD=BF，即可证出AB=AC+BD．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题主要考查了角平分线，以及三角形全等的判定和性质，证明三角形全等是证明线段和角相等的重要手段．