题目

记f(x)=1/2x^3-ax,a属于R,解关于x的不等式f(x)>a-1/2

提问时间：2021-03-13

答案

1/2x^3-ax>a-1/2
1/2(x^3+1)-a(x+1)>0
1/2(x+1)(x^2-x+1)-a(x+1)>0
1/2(x+1)(x^2-x+1-2a)>0
讨论：
  式子   x^2-x+1-2a    中
当1-4(1-2a)<0时      即 a<3/8       x^2-x+1-2a>0恒成立,所以  只需x+1>0,即  x>-1
所以  当a<3/8时   不等式解集为  （-1,+无穷）
2.   式子   x^2-x+1-2a    中
当1-4(1-2a)=0时      即 a=3/8       x^2-x+1/4>=0恒成立,
原不等式变为  1/2(x+1)(x^2-x+1/4)>0
1/2(x+1)(x-1/2)^2>0
所以   x>1且 x≠1/2
所以  当a=3/8时   不等式解集为  （-1,1/2)∪（1/2,+无穷）
3.    即 a<3/8      
方程     (x+1)(x^2-x+1-2a)=0  有三个根,-1,x1=(1-√(8a-3))/2   x2=(1+√(8a-3))/2 
在比较  -1与x1的大小
（1） -1<x1   即  3/8<a<3/2 时    不等式解集为   （-1,x1)∪（x2,+无穷）
（2） -1=x1   即  3/8<a=3/2 时   不等式解集为   （x2,+无穷）
（3）  -1>x1   即  a>3/2 时         不等式解集为   （x1,-1)∪（x2,+无穷）