题目

与拉格朗日定理有关的一道证明题
设f(x)在[0,2]上连续.在(0,2)内可导.且f(0)=f(2)=0,f(1)=2,c在（1,2）内,f(c)=c.求证：存在ξ属于(0,c),使f'(ξ)-c[f(ξ)-ξ]=1

提问时间：2021-03-13

答案

题目似乎是源自高教出版的习题啊~
证明如下：
欲证f'(ξ)-c[f(ξ)-ξ]=1,等价于证明[f'(ξ)-1]-c[f(ξ)-ξ]=0
（分析,因为[f(ξ)-ξ]显然导数是[f'(ξ)-1],而当前形式不满足中值定理）
构造函数F(x)=e^(-cx)*[f(ξ)-ξ]
此时 ,显然有f(0)=0,f(c)=0
因而对F（x）使用洛尔中值定理
即(0,c)存在一点ξ,使得
F'（x）=e^(-cx)*[f'(ξ)-1]+e^(-cx)*(-c)*[f(ξ)-ξ]=0
因为e^(-cx)不等于0,等式两边同时约去,即有
[f'(ξ)-1]-c[f(ξ)-ξ]=0 ====》 f'(ξ)-c[f(ξ)-ξ]=1
证毕!
PS：此题目原本还有第一问的 就是证明f(c)=c 这是个引导题目
此题考查的是函数构造技巧 题目难度0.31 接近难题行列