题目

一道有点难的函数题
已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2^x,若不等式af(x)+g(x)≥0对x在﹙0,1]上恒成立,求实数a的取值范围.

提问时间：2021-03-13

答案

f(x)+g(x)=2^x.(1)
f(-x)+g(-x)=2^(-x)
-f(x)+g(x)=2^(-x).(2)
(1)(2)：得到
2f(x)=2^x-2^(-x)
2g(x)=2^x+2^(-x)
af(x)+g(x)≥0
a[2^x-2^(-x)]+2^x+2^(-x)>=0
(a+1)2^x+(1-a)/2^x>=0.(3),x∈（0,1],2^x∈(1,2],(3)×2^x
(a+1)[2^x]^2+(1-a)>=0,令t=2^x∈(1,2],
f(t)=(a+1)t^2+(1-a)>=0,对于t∈(1,2],恒成立
（1）如果：a=-1,f(t)=2>0,满足题意
（2）如果：a>-1,则函数f(t)开口向上,f(t)>f(1)=a+1+1-a=2>0满足题意
（3）如果：a=f(2)=4(a+1)+(1-a)>=0,a>=-5/3
综上所述：a>=-5/3